Chapitre 11. La figure, en rappel, et ce que la géométrie dit du 9

Ce que ce chapitre montre. L’opération minimale n’est pas d’abord arithmétique : elle est antérieure au partage entre le nombre et la figure, et elle s’exécute de la même façon dans les deux. En géométrie, deux cercles se rencontrent et leur enfant est un carré ; le rapport de leurs aires vaut exactement un demi, la même moitié que le centre 4,5 rapporté à 9. Ce chapitre rappelle cette figure en une page (elle est traitée en entier au Volume 2, La Figure), puis il rassemble ce que les sources de la Fondation disent de la géométrie : la construction au compas qui donne huit formes et le cercle qui les ferme, l’ennéagone qu’on ne peut pas construire, les sommes d’angles de tous les polygones qui tombent sur le 9, l’hexagone qui pave et l’octogone qui troue, et le cadastre sommé à toutes les échelles.

11.1 Rappel : deux cercles et un carré

Un cercle : la position, le 1. Un autre cercle, différencié : non pas un second objet, mais le même à une autre échelle, l’écho du registre géométrique. Leur relation engendre un troisième terme, qui n’est ni l’un ni l’autre et qui porte la signature des deux : le carré inscrit dans le grand cercle et circonscrit au petit.

« Cercle ⊕ cercle = carré. » Le carré n’est pas une figure première : il est l’enfant des deux cercles. « Prendre le carré pour une primitive, c’est l’erreur que le corpus a nommée ailleurs le carré-illusion : c’est prendre l’enfant pour l’ancêtre. »

Le calcul tient en deux lignes. Soit r le rayon du cercle inscrit dans le carré (il touche les quatre côtés) et R le rayon du cercle circonscrit (il passe par les quatre sommets). Le côté vaut 2r ; la diagonale vaut 2r × √2 par le théorème de Pythagore ; or la diagonale est le diamètre du grand cercle, donc R = r√2. Le rapport des aires est πr² / πR² = r² / R² = 1/2.

É 11.1 · Th (diagonale-diamètre, Pythagore). La diagonale du carré est le diamètre du cercle circonscrit : d = 2R = c√2.

É 11.2 · Th. Le rapport des aires du cercle inscrit et du cercle circonscrit d’un carré vaut exactement 1/2, sans approximation, sans limite, sans queue décimale.

É 11.3 · L (la Lecture la plus contrainte de la Genèse). Ce un demi est le même que celui que le registre du nombre produit par deux chemins indépendants : le barycentre sur la clôture, 4,5/9, et le demi-écart sur l’écart, 3,5/7. Deux registres qui ne se parlent pas, la figure et le nombre, exécutent la même opération minimale et convergent sur la même constante. « Ce n’est pas une analogie découverte après coup : c’est le même déploiement, lu deux fois. » La Lecture tombe si l’un des deux registres produit un autre rapport.

« Le fractal entre géométrie et nombre n’est pas un résultat du corpus ; il est sa condition de naissance, présent dès la première rencontre de deux cercles et dès la première rencontre de deux uns. » (Genèse, v0.1)

√2, l’opérateur du passage. L’opérateur de la relation a un nom, « le nombre le plus calomnié de l’histoire » : √2. Il est le traducteur exact entre les deux échelles, la croix du registre géométrique. Il n’est pas un nombre-objet à la queue infinie : il est l’opérateur du passage, et sa relation est fermée sans reste, car (√2/2)² = 1/2 exactement.

É 11.4 · L. « Le mot irrationnel, privé de relation, dit littéralement ce qu’on lui a fait : on l’a extrait de la relation des deux cercles qui le portent, puis on s’est étonné qu’il ne se laisse pas mesurer seul. » (Le fait reçu demeure : √2 n’est le quotient d’aucun couple d’entiers. La Lecture porte sur ce que le mot fait oublier, le diamètre.)

Trois constantes, une figure. De cette figure unique sortent, comme trois lectures d’un même objet, les trois constantes que la tradition enseigne dans trois chapitres séparés : √2, la diagonale, l’opérateur qui ouvre ; π, la circulation, ou la friction, entre les deux cercles, que le corpus lit dans 22/7 = 11/3,5 (É 8.5) ; φ, le nombre d’or, qui émerge quand l’octogone se forme dans la figure complète et révèle le pentagramme central.

« La fragmentation n’est pas dans les objets ; elle est dans le regard. »

Le traitement complet (la figure fondamentale, le carré-illusion, l’autre triangle, le carré notifié, l’origine géométrique des unités, les sept convergences du ½) est au Volume 2, La Figure.

11.2 La construction au compas : huit formes et le cercle qui ferme

Pourquoi ce n’est pas de la numérologie ouvre sur une construction en cinq coups de compas, qui produit les constantes du cadastre avant toute notation.

1. Deux cercles concentriques, de rayons r = 1/2 et R = √2/2 : rapport R/r = √2.
2. Le carré naît des points de tangence : constante 4.
3. Les diagonales le divisent en huit triangles : constante 8.
4. Le pentagramme émerge : constante 5, barycentre 4,5.
5. Le cercle circonscrit ferme la construction : constante 9.

É 11.5 · Th (pour √2, 4 et 8) et L (pour l’attribution de 5, de 4,5 et de 9 aux étapes 4 et 5). « Cinq coups de compas produisent {4, 5, 4,5, 8, √2, 9} avant toute notation. »

É 11.6 · F (Wantzel, 1837). L’ennéagone régulier (le polygone à neuf côtés) n’est pas constructible à la règle et au compas.

É 11.7 · L. « La construction engendre huit formes ; le neuvième élément est le cercle qui ferme, qui n’est pas un polygone parmi d’autres. » « Le 9 n’est pas absent ; il est la construction. »

11.3 Tout polygone dépose sur le 9

La somme des angles intérieurs d’un polygone à n côtés vaut (n − 2) × 180°. Or DR(180) = 9, donc tout multiple de 180 a pour racine 9.

La somme des angles extérieurs de toute figure convexe vaut 360°, racine 9, comme le tour complet du cercle.

É 11.8 · Th. La somme des angles intérieurs de tout polygone, exprimée en degrés, a pour racine 9 (vérifié de 3 à 199 côtés, et vrai pour tout n puisque 180 est un multiple de 9) ; la somme des angles extérieurs, 360°, aussi.

É 11.9 · L. « Fermer une figure, c’est inscrire un multiple de la clôture : la géométrie ne sait pas se fermer ailleurs que sur le 9. » Le carré porte 360, un tour, la clôture simple ; l’hexagone, la figure du 6 et de la circulation, porte 720 : le double tour, exactement la quantité de rotation qu’exige le retour d’une involution (φ ∘ φ = identité) et le retour d’un objet de spin 1/2 en physique. « La figure de la circulation contient inscrite la loi du retour en deux temps. »

Une honnêteté est due ici, que le volume tient à écrire : le degré lui-même (360 au tour) est une unité héritée de Babylone. La racine 9 des sommes angulaires est donc une lecture de l’unité de mesure, alors que d’autres énoncés ne dépendent d’aucune unité ni d’aucune base : r²/R² = 1/2, ou le fait que trois hexagones ferment exactement un sommet (3 × 120° = 360°, un tour, quelle que soit l’unité dans laquelle on compte le tour). Le corpus en tire la même conclusion par l’autre bout : l’objection « tout cela n’est que la base dix » « se heurte à la géométrie : ni (n − 2) × 180, ni r²/R² = 1/2, ni 3 × 120 = 360 ne savent dans quelle base on compte ».

11.4 L’hexagone qui pave, l’octogone qui troue

L’angle intérieur de l’hexagone régulier vaut 120°, et 3 × 120° = 360° : trois hexagones ferment exactement un sommet. L’hexagone pave le plan sans reste, seule figure avec le triangle et le carré à le faire seule. L’angle de l’octogone vaut 135°, et 2 × 135° = 270° : deux octogones laissent un trou de 90°, qu’il faut combler par un carré (le pavage octogone-carré des places publiques).

É 11.10 · Th. Parmi les polygones réguliers, seuls le triangle, le carré et l’hexagone pavent le plan seuls ; l’octogone exige le carré.

É 11.11 · L. « Le 6 ferme seul ; le 8 ne ferme qu’en empruntant le carré. » Le 6, libération du 3, circule et clôt ; le 8, l’enveloppe maximale, ne se referme pas sans le pivot 4 : la chaîne du traité P ≠ NP (Volume 5, Les Grands Problèmes), lisible à même le carrelage.

11.5 Les deux cercles de chaque polygone

L’Objet à deux faces rappelle que tout polygone régulier est tenu par deux cercles, l’inscrit (tangent aux côtés, la tension interne) et le circonscrit (passant par les sommets, la limite externe), et que leur rapport vaut r/R = cos(π/n).

É 11.12 · Th. Pour le polygone régulier à n côtés, r/R = cos(π/n) ; en particulier r/R = 1/2 pour le triangle, et cos(π/7) est racine de 8x³ − 4x² − 4x + 1. (La source donnait pour l’heptagone un autre polynôme, et pour l’octogone et l’ennéagone des valeurs qui ne sont pas r/R ; les valeurs exactes sont celles-ci, et les correspondances sont gardées comme lectures associées ; voir Annexe B.)

É 11.13 · L. Le triangle est le cas où r/R = 1/2 exactement, la constante k_arc elle-même : il est l’instanciation géométrique minimale de l’objet à deux faces (chapitre 15). Le sablier (deux cônes triangulaires apex contre apex) et le cône de lumière d’Einstein partagent la même topologie : ils sont la lecture en trois dimensions de la dualité inscrit et circonscrit du triangle.

11.6 Le cadastre sommé à toutes les échelles

Le cadastre sommé donne 1 + 2 + … + 9 = 45, la singularité-mémoire, de racine 9. À la profondeur suivante, 1 + … + 99 = 4950 ; puis 1 + … + 999 = 499 500.

É 11.14 · Th. 45, 4950 et 499 500 sont des nombres de Kaprekar (le carré, coupé en deux, restitue le nombre : 45² = 2025 et 20 + 25 = 45 ; 4950² = 24 502 500 et 2450 + 2500 = 4950 ; 499 500² = 249 500 250 000 et 249 500 + 250 000 = 499 500). Chacun s’apparie à la somme du cycle des phases correspondant en sommant à la puissance de dix : 45 + 55 = 100, 4950 + 5050 = 10⁴, 499 500 + 500 500 = 10⁶ (avec 55, 5050, 500 500 les sommes de 1 à 10, 100, 1000).

É 11.15 · F (Iannucci, 2000). Les nombres de Kaprekar sont caractérisés par les diviseurs unitaires de 10^e − 1 : la famille entière des nombres-mémoire est engendrée par les purs-neufs 9, 99, 999, …

É 11.16 · L. Les mêmes purs-neufs auxquels somment les paires de rangées de la table (99 999 999, chapitre 4) engendrent les nombres-mémoire. « Le cadastre se répète, sommé et apparié, à toutes les échelles : la matriochka est arithmétiquement exacte. »

« Le 1-9 vient avant tout, et chacun peut le vérifier avec une table d’école, une règle et un compas. »