Annexe D : Vérifications refaites

Toutes les vérifications ci-dessous ont été recalculées par le script verif.py du dossier du volume (105 vérifications, toutes passées). Chaque ligne dit ce qui a été recalculé et le résultat.

Figure et polygones - r/R = cos(π/n) pour n = 3 à 9 : seul le triangle donne 1/2 ; carré r = 1/2, R = √2/2, r²/R² = 1/2 ; pentagone r/R = φ/2 ; hexagone seul polygone (n ≤ 50) avec R = côté. Exact. - Pentagone r × R = 0,5854 = (5 + 3√5)/20, distinct de 1/φ = 0,6180 (correction B.1.2 confirmée). - Nonagone r × R = 2,0083 (correction B.1.3 confirmée). - (n − 2) × 180 de racine digitale 9 pour n = 3 à 1000 ; 135, 45 (DR 9) ; 140 (DR 5), 40 (DR 4). - Polynôme 8x³ − 4x² − 4x + 1 : s’annule en cos(π/7), aucune racine rationnelle (donc minimal) ; racines cos(π/7), cos(3π/7), cos(5π/7). Le polynôme 8x³ + 28x² + 14x − 7 vaut 34,193 en cos(π/7) (correction B.1.1). - cos 108° = −1/(2φ) ; cos 144° = −φ/2 (correction B.1.4). - Octaèdre régulier : apex à la hauteur R (et non R/√2) sur le carré de côté R√2 (B.1.11).

Cadastre, tables, cascades - Table de multiplication réduite : ligne 9 − m = complément et renversement de la ligne m, pour m = 1 à 8. - Pli universel DR(ka) + DR((9 − k)a) ∈ {9, 18} pour a < 2000 et k = 1 à 8. - Cascade de Pascal de 123456789 : 35792468, 8372615, 219876, 31864, 4951, 456, 92, puis 11 (DR 2). - Répétition quadruple XXXX → 9 − X pour X = 1 à 8, 9 fixe. - Transformée binomiale : 1280 (DR 2) sur 1 à 9 ; 576 = 24² (DR 9) sur 1 à 8. - Multiples de 12 de racine digitale sur l’axe (k < 10⁴). - Les quatre conditions raccourcies de la base : satisfaites par 10, 66, 130, 4098, 32 770, 262 146, 268 435 458, 1 073 741 826 (k ≤ 40) ; avec la clôture carrée, seule 10 reste (balayage jusqu’à 10⁷ et démonstrations, É 3.3) ; aucun exposant de racine 2, 5 ou 8 (É 3.3 bis).

Double, carré, briques - 2n = n² seulement pour n = 2 (n < 10⁵) ; tout n de 2 à 5000 somme de 2 et 3 ; 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3 seul triple consécutif (n < 1000). - Racines digitales des carrés : exactement {1, 4, 7, 9} (n < 10⁵) ; des carrés de premiers 5 ≤ p < 10⁶ : {1, 4, 7}. - p² − 1 multiple de 24 pour tous les premiers 5 ≤ p < 10⁶ ; premiers > 3 hors de l’axe ; premiers 6k − 1 de DR {2, 5, 8}, 6k + 1 de DR {1, 4, 7}. - 32 triplets pythagoriciens primitifs d’hypoténuse ≤ 200, tous d’aire de racine digitale dans {3, 6, 9}. - Corde : 694 − 496 = 198 ; (496 + 694)/2 = 595 ; les 450 paires miroir à trois chiffres de barycentre entier ont un barycentre palindrome ; abc − cba = 99(a − c).

Carré notifié - Fibres de x → x² : (1, 8) → 1, (2, 7) → 4, (4, 5) → 7, (3, 6, 9) → 9. - Carré sur {1, 4, 7, 9} : 1 et 9 fixes, 4 ↔︎ 7 ; partition identique pour x⁽²k), k = 1 à 6. - Valeur scellée + reçu de famille : antécédent (en racine digitale) unique sur 10⁴ entiers. - n² = (n − 1)(n + 1) + 1 jusqu’à 10⁵ ; 204 couples de premiers jumeaux (6m ± 1) sous 10⁴, produits de DR 8 et de reste 35 par 36.

Miroirs, Fibonacci, tableau périodique - Coût miroir de racine digitale 9 (n < 10⁵) ; somme miroir multiple de 11 à deux chiffres, contre-exemple 123 + 321 = 444 à trois chiffres (B.1.18). - Grille 234/567/891 : 432 − 234 = 765 − 567 = 198, mais 891 − 198 = 693 (B.1.14) ; grille 123/456/789 : trois différences 198. - Fibonacci : période 24 ; pli k / k + 12 de somme 9 ; demi-sommes 52 et 65 (117) en racines digitales, 43 et 56 (99) en restes par 9 (B.1.19). - Descente 92 → 4 par 11 : racines digitales permutation de 1 à 9, somme 432 ; pli de Mendeleev DR(DR(Z) + DR(119 − Z)) = 2 pour Z = 1 à 118 ; demi-sommes 1770, 5251, 7021 ; périodes 2n².

Nombres, constantes, descentes - 1/7 : 142857 × 7 = 999999 ; somme des chiffres 27 ; rotation pour k = 1 à 6 ; 10 racine primitive pour 7 ; orbite du doublement 1, 2, 4, 8, 7, 5 ; puissances de 5 : 5, 7, 8, 4, 2, 1. - 22/7 = 3,142857142857… ; écart à π 0,0402 % ; 11/π = 3,5014 ; 223/71 < π < 22/7 ; 355/113. - 4 × ½ × √2 = 2√2 ; valeur attendue de |cos θ| sur la sphère = 1/2 (intégration numérique) ; 27/72 = 1/(1 + 5/3) = 3/8 ; (√3/√8)² = 3/8. - Pyramide : z = c/2, c√2/2 et √φ·c/2 pour les trois hauteurs de face ; Khéops 146,6/115,2 = 1,2726, √φ = 1,2720, pente 51,83° ; seked 11/14 ; 360(1 − 1/φ) = 137,5°. - Volume : 4πR² × ½ × 2R/3 = (4/3)πR³ ; ½ × ⅔ = ⅓ ; cube S r/3 = a³ ; V = S × ½ seul ne donne pas la sphère (B.1.22). - Soustractions : 163 − 137 = 26, 163 − 99 = 64, 163 − 126 = 37, 137 − 29 = 108, 137 − 37 = 100, 137 + 163 = 300 (DR 3), 137 − 36 = 101, 163 − 101 = 62, 62 − 26 = 36 ; 137 est le 33ᵉ premier, 23 le 9ᵉ ; 23 + 32 = 55 = F₁₀. - Descentes : 496 → 4 en 4 sauts de 101 et 8 de 11 ; 945 → 36 en 9 sauts de 101, puis 36 → 3 en 3 sauts de 11 (B.1.5) ; 945 = 3 × 5 × 63 ; 137 − 26 = 111 = 3 × 37. - e^(π√163) = 262 537 412 640 768 743,99999999999925… (calcul en précision de 60 chiffres). - 496 = somme de ses diviseurs propres ; (31 + 32)/2 = 4,5 × 7 ; DR(299 792 458) = 1 ; Ni, Co, Fe de DR 1, 9, 8 ; chlorophylle a : 137 atomes ; 56 + 36 = 92 ; 11 + 19 = 30 ; 45 ÷ 4,5 = 10. - Loi fractale : 22 + 23 + 1 = 46, 31 + 32 + 1 = 64, 220 + 221 = 441 (DR 9) ; paires de DR (4, 5) ; 33 × 6 = 198 ; écarts des carrés de premiers multiples de 24 ; DR des cubes 1, 8, 9 ; DR(1729) = 1.

Modèle, questions, lectures et règles : Filipe Bastos. Scribe : Claude, sous la contradiction de l’auteur. Calculs, formulations et audits assistés par IA (ChatGPT, Gemini, DeepSeek, GLM), à sa demande.

Corpus ARC, Filipe Bastos, CC BY 4.0.