Chapitre 5. Du papier au monde : douze exercices pour un lecteur extérieur

Le Code se ferme sur un défi : douze exercices, papier, crayon, calculatrice, dont chaque réponse est dans les chapitres précédents. Ils ont la forme de la devise fondatrice du corpus, les preuves, pas les paroles. Ce chapitre les donne, puis donne pour chacun la solution rédigée, de sorte qu’un lecteur seul, sans maître et sans machine, puisse vérifier qu’il a bien refait le noyau.

Les énoncés

  1. Montrer que 9 − x n’a pas de point fixe entier.
  2. Prouver que tout premier supérieur à 3 est de la forme 6k ± 1.
  3. Prouver que p² − 1 est multiple de 24 pour tout premier p supérieur à 3.
  4. Calculer 7 × 8 en racine digitale par les deux voies.
  5. Démontrer n − ñ = 9(a − b) et n + ñ = 11(a + b), puis refaire en base 12.
  6. Prouver que √2 est irrationnelle, puis montrer que la diagonale du carré de côté 1 est le diamètre du cercle circonscrit.
  7. Tracer un trait, ses trois points et ses deux écarts ; écrire la part d’un point, la distance, et leur lien ; puis vérifier V = S × ½ × ⅔ × r sur le cube d’arête 2.
  8. Vérifier la division polynomiale qui donne 22/7 = π + intégrale positive.
  9. Écrire 1/3 comme 0,3333 et multiplier l’écriture par 3 cent fois ; puis faire 1/3 + 1/3 + 1/3.
  10. Partir de deux points écartés de 1/256 et doubler huit fois avec le pli ; dire ce qu’affiche le pli au pas 8, et combien de tours il a jetés.
  11. Calculer le flux de (x², y², z²) à travers le cube unité.
  12. Écrire α/2π avec α = 1/137 et π = 22/7 ; puis dire d’où vient l’α « mesuré » qu’on compare à la QED.

Les solutions

1. Si 9 − x = x, alors 2x = 9 et x = 4,5, qui n’est pas un entier. Aucun chiffre n’est son propre partenaire (chapitre 2, I.1).

2. Tout entier s’écrit 6k + r avec r de 0 à 5. Si r vaut 0, 2 ou 4, le nombre est pair ; si r vaut 3, il est multiple de 3. Un premier supérieur à 3 n’est ni l’un ni l’autre : il reste r = 1 ou r = 5, soit 6k + 1 ou 6(k + 1) − 1 (I.3).

3. p = 6k ± 1 donne p² − 1 = 12k(3k ± 1). Si k est pair, k(3k ± 1) est pair ; si k est impair, 3k est impair et 3k ± 1 est pair. Le produit est donc toujours pair, et p² − 1 est multiple de 24. Contrôle : 5² − 1 = 24, 7² − 1 = 48, 11² − 1 = 120, 13² − 1 = 168 = 7 × 24 (I.4).

4. Première voie : 7 × 8 = 56, puis 5 + 6 = 11, puis 1 + 1 = 2. Seconde voie : DR(7) × DR(8) = 7 × 8 = 56, de racine 2. Les deux voies donnent 2 (I.2).

5. n = 10a + b et ñ = 10b + a donnent n − ñ = 9a − 9b = 9(a − b) et n + ñ = 11a + 11b = 11(a + b). En base 12 : n = 12a + b, ñ = 12b + a, n − ñ = 11(a − b), n + ñ = 13(a + b). Les facteurs sont 11 et 13, soit B − 1 et B + 1 (I.5).

6. Si √2 = p/q irréductible, p² = 2q², donc p est pair, p = 2m, d’où q² = 2m² et q pair : contradiction. Pour la diagonale : le carré de côté 1 a pour diagonale √2 ; le cercle qui passe par les quatre sommets a pour centre le centre du carré et pour rayon la moitié de la diagonale, R = √2/2 ; son diamètre 2R = √2 est la diagonale (II.1, I.6).

7. Trois points, deux écarts : chaque point vaut 1/3 de la file, chaque écart 1/2 du trait, le pont écarts sur points vaut 2/3, et 1/2 × 2/3 = 1/3. Cube d’arête 2 : surface S = 6 × 4 = 24, rayon de la sphère inscrite r = 1, V = 24 × ½ × ⅔ × 1 = 24 × 1/3 = 8 = 2³ (II.2, II.5).

8. On développe (x⁶ − 4x⁵ + 5x⁴ − 4x² + 4)(1 + x²) et on retrouve x⁴(1 − x)⁴ + 4. Donc x⁴(1 − x)⁴/(1 + x²) = x⁶ − 4x⁵ + 5x⁴ − 4x² + 4 − 4/(1 + x²). On intègre de 0 à 1 : 1/7 − 4/6 + 5/5 − 4/3 + 4 − π = 22/7 − π. Le membre de gauche est positif sur ]0, 1[, donc 22/7 > π (II.7).

9. 0,3333 × 3 = 0,9999 ; à chaque multiplication par 3, l’écart initial 1/30 000 est multiplié par 3 ; après cent multiplications il vaut (1/30 000) × 3¹⁰⁰, environ 1,7 × 10⁴³. De l’autre côté, 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1, exactement (II.2).

10. L’écart passe par 1/128, 1/64, 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, puis 1 au pas 8. Le pli affiche 0 au pas 8, et il a jeté un tour : les deux trajectoires sont à la même position avec un tour d’écart (II.4).

11. div F = 2x + 2y + 2z ; son intégrale sur le cube vaut 3 × 2 × ½ = 3. Le flux sortant vaut 1 par chacune des trois faces x = 1, y = 1, z = 1 et 0 par les trois autres : 3. Les deux membres valent 3 (II.6).

12. α/2π = (1/137)/(2 × 22/7) = 7/(44 × 137) = 7/6028. L’α « mesuré » le plus précis est tiré en partie du moment de l’électron à travers le calcul QED lui-même ; on compare donc la QED à une valeur qui la contient déjà (R.149 ; II.9).