Chapitre 5. Les jumeaux : le prédicat J(k) et la dynamique des ondes

Deux nombres premiers sont jumeaux quand ils ne sont séparés que par 2 : 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31. Au-delà de (3, 5), tout couple de jumeaux encadre un multiple de 6 : c’est une paire de la grille, (6k − 1, 6k + 1), restée intacte. Ce chapitre donne d’abord la caractérisation exacte : une paire est jumelle si et seulement si son indice k échappe aux quatre familles du chapitre 3, ce qui se décide en un nombre fini de gestes pour tout k. Il montre ensuite que les deux membres d’une paire vivent sur deux rails disjoints et ne peuvent avoir aucun diviseur commun. Il pose enfin, sans le dissimuler, ce qui reste ouvert : savoir s’il existe une infinité de jumeaux. La question est réduite à un seul énoncé, nommé, dont on déclare qu’il est aussi difficile que la conjecture elle-même. Une réduction honnête déclare son taux de change.

5.1 Théorème 7 : la caractérisation exacte des jumeaux

Théorème 7 (Tome I) : le prédicat J(k). La paire P_k = (6k − 1, 6k + 1) est une paire de premiers jumeaux si et seulement si k n’appartient à aucune des quatre familles :

J(k) ⟺ k ∉ {6ab + a + b} ∪ {6ab − a − b} ∪ {6ab + a − b} ∪ {6ab − a + b}.

Preuve. Par le Théorème 2, les formes symétriques ±(a + b) énumèrent exactement les k dont 6k + 1 est composé, et les formes croisées ±(a − b) exactement les k dont 6k − 1 est composé. Le complément total est donc exactement l’ensemble des k dont les deux membres sont premiers. ∎

Corollaires. (i) J(k) est décidable pour tout k par le Théorème 4 : lancement des générateurs jusqu’au point d’équilibre, verdict fini. (ii) Tout jumeau au-delà de (3, 5) est de la forme (6k − 1, 6k + 1) : les jumeaux sont les paires intactes de la grille auto-générée.

Vérification. Les k hors des quatre familles sous 10⁶ coïncident exactement avec les paires jumelles : 37 915 paires, zéro divergence (Tome I) ; sous 5 × 10⁶ : 152 890 paires, zéro divergence (article de démarcation). Les deux comptes sont refaits pour ce volume. Statut : Th.

Exemple au crayon. k = 1 : 6 × 1 ± 1 = 5, 7. Aucune famille ne donne k = 1 (la plus petite naissance est k = 4, la position 25 = 5 × 5 ; puis k = 6, la position 35 = 5 × 7 sur la branche 6k − 1). Donc J(1) : (5, 7) est jumelle. k = 4 : la famille (−, −) à a = b = 1 donne 6 − 1 − 1 = 4 ; donc 6 × 4 + 1 = 25 est composé, et (23, 25) n’est pas jumelle. C’est la première cassure (chapitre 13, section 13.4).

5.2 Théorème 8 : la disjonction des rails

Théorème 8 (Tome I) : disjonction des rails. Les deux membres d’une paire vivent sur des spectres cadastraux disjoints : DR(6k − 1) ∈ G = {2, 5, 8} et DR(6k + 1) ∈ D = {1, 4, 7}, avec G ∩ D vide ; leur seul contact structurel est l’axe 6k (spectre {3, 6, 9}). Conséquence arithmétique stricte : aucun générateur p > 3 ne peut diviser les deux membres d’une même paire, puisqu’il diviserait leur écart 2. Les deux branches sont criblées par des mécanismes sans diviseur commun. Statut : Th.

Théorème 8, complément : la conjugaison involutive des phases (Th). Pour chaque période p > 3, les deux points de contact de l’onde de période p avec les deux branches sont k = u + p·t et k = (p − u) + p·t, t entier, où u est l’entier de 1 à p − 1 tel que 6u = 1 + p·s (l’inverse de 6 dans la division par p) : des phases conjuguées par l’involution x ↦ p − x, l’analogue selon p de φ. Exemple : p = 5, u = 1 (car 6 = 1 + 5 × 1) ; la branche 6k + 1 est touchée en k = 4 + 5t (k = 4, 9, 14 : 25, 55, 85) et la branche 6k − 1 en k = 1 + 5t (k = 1, 6, 11 : le générateur 5 lui-même, puis 35 et 65). Chaque onde touche donc les deux branches en des positions symétriques par rapport au point d’équilibre de son cycle. Démontré par division exacte : p divise 6k + 1 si et seulement si k = (p − u) + p·t, et p divise 6k − 1 si et seulement si k = u + p·t.

5.3 La dynamique ondulatoire : l’état exact du chantier d’infinitude

V4.5.1 (L) : les familles comme ondes. Chaque famille, à a fixé, est une onde : une progression arithmétique de période 6a ± 1 balayant la ligne des k. Les jumeaux sont les positions que toutes les ondes laissent intactes. La question de l’infinitude des jumeaux se reformule alors exactement : les ondes peuvent-elles, à partir d’un certain rang, saturer la ligne des k ?

Ce qui est acquis (Th). La caractérisation J(k) (Th 7) ; la disjonction des rails et l’absence de diviseur commun (Th 8) ; la décidabilité en chaque point (Th 4) ; la structure explicite de chaque onde (période, phase, naissances toutes prévisibles).

Ce qui est acquis conditionnellement (calcul vérifié, hypothèse déclarée). Si les criblages des deux branches sont indépendants au sens du comptage, alors le compte attendu des k intacts croît sans borne (la somme des densités se comporte comme n/ln n) : l’infinitude suit. Le calcul intégral de cette croissance est correct ; c’est l’hypothèse qui ne l’est pas encore.

V4.5.2 (Chantier) : la non-saturation, le lemme restant et le seul. Le passage de la disjonction des spectres (Th 8) à l’indépendance du comptage n’est pas encore un théorème. La disjonction élimine les corrélations aux fondateurs 2 et 3 ; mais pour chaque période p > 3, l’onde touche les deux branches à des phases distinctes, et c’est le contrôle simultané de ces phases sur toutes les périodes qui doit être démontré. La réduction ramène donc l’infinitude des jumeaux à un unique lemme de non-saturation : montrer que le recouvrement cumulé des ondes (chaque intersection de deux ondes étant elle-même une onde, tout étant explicite) laisse structurellement une marge à toute échelle.

F : l’ennemi nommé. Le point exact où ce lemme bute est identifié dans la théorie des cribles sous le nom d’obstruction de parité : les méthodes de crible, aveugles à la distinction entre nombres à un facteur et nombres à deux facteurs, plafonnent structurellement avant l’infinitude ; c’est la barrière où toutes les approches de ce type s’arrêtent depuis un siècle. Et le taux de change de la réduction est déclaré en toutes lettres : le lemme de non-saturation est de la même difficulté que la conjecture des jumeaux elle-même. La réduction n’abaisse pas la difficulté ; elle la localise et lui donne la forme d’un énoncé unique dans le vocabulaire du cadastre.

« Une réduction honnête déclare son taux de change. »

Le fait des phases conjuguées (Th 8, complément) n’affaiblit pas le chantier, il le définit : le lemme exige un argument qui contourne la parité, et les voies internes candidates (le barycentre 4,5 comme point d’équilibre des phases conjuguées, l’involution φ appliquée aux familles elles-mêmes, l’inclusion-exclusion exacte sur les ondes) devront être évaluées contre cette barrière-là, nommément.

Statut global. Théorèmes 7 et 8 acquis ; infinitude des jumeaux : Lecture forte réduite à un lemme unique et nommé (Chantier). « La distance entre l’état du corpus et le théorème complet est désormais mesurable : elle tient en un énoncé. » Le chapitre 6 descend ce lemme jusqu’à un seul nombre, le résidu des phases replié ; le chapitre 12 (Th 39) en calcule la grandeur quadratique en forme fermée. Ni l’un ni l’autre ne conclut sur l’infinitude, et c’est écrit (la conjecture, dite de Polignac pour l’écart 2, reste ouverte).

Une déclaration antérieure du corpus, qui tenait ce pas pour acquis, a été retirée et remplacée par le présent état (Annexe B).