Chapitre 17. Les nombres qui se souviennent : Kaprekar et l’arithmétique de la mémoire

D’ordinaire, le carré d’un nombre efface son origine : rien dans 2025 n’indique 45 sans calcul. Il existe pourtant des nombres dont le carré, coupé en deux morceaux, redonne le nombre par une simple addition : 45² = 2025, et 20 + 25 = 45. Ce sont les nombres de Kaprekar ; le corpus les appelle les nombres qui se souviennent. Ce chapitre démontre qu’ils ont tous la racine 9 ou la racine 1, les deux seules adresses de la mémoire ; qu’ils viennent par paires qui partagent la même « queue », dont l’une est 1729 ; qu’ils naissent tous des nombres faits uniquement de 9 ; que 142857, la période de 1/7, en est un ; et que les sommes du cadastre (45, 4950, 499500) en sont toutes. Il clôt le triptyque de Kaprekar, dont le deuxième volet, l’énigme 196, fait l’objet du chapitre 18 (pièce Les Nombres qui se Souviennent, juin 2026, volet III du triptyque de la sédimentation arithmétique).

F : la définition. Un nombre de Kaprekar est un nombre n dont le carré, coupé en deux parts contiguës, redonne n par addition (D. R. Kaprekar, « On Kaprekar numbers », Journal of Recreational Mathematics 13, 1980) : 45² = 2025, coupe 20 | 25, somme 45 ; 297² = 88 209, coupe 88 | 209, somme 297 ; 703² = 494 209, coupe 494 | 209, somme 703. « Le carré porte la racine en lui, lisible par une coupe : l’élévation qui conserve la trace, le n × n qui n’oublie pas son n. » Dans la grammaire du corpus, où l’opération oubliée n × n ÷ n = n établit la conservation de l’identité à travers l’élévation (Volume 2), ces nombres sont l’incarnation arithmétique de la mémoire.

V4.17.1 (Th) : l’énumération. L’énumération exhaustive jusqu’à un million livre cinquante-quatre nombres, conformes à la littérature : 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2 223, 2 728, 4 879, 4 950, 5 050, 5 292, 7 272, 7 777, 9 999, …, 142 857, …, 499 500, 500 500, …, 999 999 (refait pour ce volume : 54).

Leur statut institutionnel est, comme pour les deux autres volets du triptyque, celui de la curiosité récréative, alors que leur structure, lue cadastralement, prolonge exactement celle des deux premiers volets.

17.1 Le théorème des deux étages

K.1 (Th) : les deux étages. Tout nombre de Kaprekar a pour racine digitale 9 ou 1.

Preuve. Soit n² = p · 10^e + q avec p + q = n. Comme 10^e laisse le reste 1 dans la division par 9, n² laisse le même reste que p + q = n. Donc 9 divise n² − n = n(n − 1). Les facteurs n et n − 1 étant consécutifs, 3 ne peut les diviser tous deux : 9 divise donc n ou n − 1, c’est-à-dire DR(n) = 9 ou DR(n) = 1. ∎ Vérification exhaustive sur les cinquante-quatre, sans exception (refait pour ce volume). (La pièce numérotait cet énoncé « Lemme 3 ».)

V4.17.2 (L) : les deux adresses de la mémoire. Les nombres qui se souviennent habitent exactement les deux étages identifiés au volet I (L’Énigme 6174) : le réseau-mémoire (racine 9), où la dynamique de Kaprekar sédimente et où vit 495, et sa chiralité (racine 1, le réseau plus un), où vivent les nombres parfaits et 496. « La mémoire arithmétique n’a que deux adresses : le réseau, et le réseau plus le pas. » Tout nombre capable de se souvenir de lui-même à travers son carré réside à l’une des deux.

17.2 Le théorème des paires : la queue partagée

K.2 (Th) : les paires. Si n est un nombre de Kaprekar de coupe n² = p · 10^e + q (p + q = n, 0 < q < 10^e, n < 10^e), alors n′ = 10^e − n est aussi un nombre de Kaprekar, avec la même queue q.

Preuve. n′² = (10^e − n)² = 10^(2e) − 2n · 10^e + n² = (10^e − 2n + p) · 10^e + q. La part gauche p′ = 10^e − 2n + p et la queue q vérifient p′ + q = 10^e − 2n + (p + q) = 10^e − 2n + n = 10^e − n = n′. ∎ (La pièce le numérotait « Théorème 1 ».)

Les nombres qui se souviennent viennent donc en paires complémentaires aux puissances de dix, et les deux membres d’une paire partagent leur queue : la même mémoire terminale, portée par deux nombres miroirs. Vérification intégrale (refaite pour ce volume) :

V4.17.3 (L) : deux queues méritent l’arrêt. La queue 1729 : le nombre de Hardy-Ramanujan, 12³ + 1, déjà inscrit au corpus pour sa double face et son appartenance au motif n³ + 1 (chapitre 19), est ici la mémoire commune de la paire (2 223, 7 777), où 7 777 = 7 × 11 × 101 : la connexion multipliée par les deux premiers paliers du volet II (chapitre 18). La queue 209 de la paire (297, 703) scelle le lien avec le volet I, puisque 297 est un barreau de l’échelle 99k (k = 3, la paire inscrite 2-9-7) : un barreau de la descente de Kaprekar est lui-même un nombre qui se souvient.

17.3 La génération par les purs-neufs

F : la caractérisation d’Iannucci (2000). D. E. Iannucci (« The Kaprekar Numbers », Journal of Integer Sequences 3, 2000) a établi que les nombres de Kaprekar à coupe de profondeur e sont en bijection avec les décompositions en diviseurs unitaires du pur-neuf 10^e − 1 = 99…9. Pour chaque écriture 10^e − 1 = A × B avec A et B premiers entre eux, le théorème des restes chinois livre l’unique n < 10^e multiple de B qui laisse le reste 1 dans la division par A, et ce n est de Kaprekar. Exemple à trois chiffres : 999 = 27 × 37 engendre 703 (multiple de 37, reste 1 par 27) et 297 (multiple de 27, reste 1 par 37) (refait pour ce volume).

V4.17.4 (Th) : les factorisations des purs-neufs.

Les paliers 11 et 101 du volet II réapparaissent comme facteurs des purs-neufs ; et le pur-neuf de profondeur six se referme sur le cycle de la cascade : 999 999 = 7 × 142 857.

V4.17.5 (L) : la mémoire engendre les mémorieux. Dans la grammaire du corpus, où le 9 est la mémoire conservée contre l’amnésie de l’identification à 0, le résultat se lit en une phrase : « les nombres capables de se souvenir naissent du 9 : la mémoire engendre les mémorieux. »

17.4 142857, le cycle qui se souvient de lui-même

V4.17.6 (Th). 142 857, la période de 1/7, le cycle des puissances de 2 en racine (1, 4, 2, 8, 5, 7 en sont les chiffres ; chapitre 18), figure dans la famille :

142 857² = 20 408 122 449, et 20 408 + 122 449 = 142 857.

Le cycle se souvient de lui-même. Son complément de paire est 857 143 = 6 × 142 857 + 1, six fois le cycle plus le pas de chiralité, et le produit générateur ferme la boucle : 7 × 142 857 = 999 999, le pur-neuf de profondeur six (refait pour ce volume).

V4.17.7 (L). Le nombre qui erre sans fin dans la dynamique montante du volet II (le cycle des racines de 196) est, dans la présente famille, un nombre-mémoire exemplaire : « la circulation et le souvenir ne s’excluent pas : le cycle est une mémoire en mouvement. »

17.5 Les sommes du cadastre à toute profondeur

V4.17.8 (Th). Les nombres triangulaires aux frontières du 9 appartiennent tous à la famille (refait pour ce volume) :

La somme du cadastre, à chaque profondeur, est un nombre qui se souvient ; 45, la singularité-mémoire du corpus, n’est que le premier étage d’une tour qui se répète à toutes les échelles, chaque étage apparié à la somme du cycle des phases correspondant (1 à 10, 1 à 100, 1 à 1 000).

17.6 Le triptyque fermé

V4.17.9 (L) : trois régimes du même cadastre.

Trois objets du même découvreur, trois régimes du même cadastre : « ce qui descend se dépose sur le réseau du 9 ; ce qui monte court les paliers du 11 ou fuit à jamais ; ce qui se souvient habite le réseau et sa chiralité, engendré par les purs-neufs. » Le 99 = 9 × 11 scande les trois volets : barreaux de la descente, espacement des fugitifs, facteur des générateurs. Et le couple (495, 496) du volet I se révèle rétrospectivement comme l’emblème du tout : les deux adresses de la mémoire, côte à côte.

« Le triptyque s’ouvre sur une question que personne ne posait, pourquoi 6174, et se ferme sur une réponse que personne n’attendait : les trois curiosités récréatives d’un calculateur indien de l’après-guerre sont trois lectures d’une même structure. Le comment des trois opérations contient intégralement leurs trois destins. Le comment contient le pourquoi. »

(Le volet I, L’Énigme 6174, n’est pas au nombre des sources de ce volume ; ses résultats sont cités ici tels que les volets II et III les rappellent : 6174 = 18 × 7³, 495 = 45 × 11, l’échelle des barreaux 99k.)