Chapitre 2. Le premier extrême : π, le rapport sans rapport

Avant d’aborder la fonction zêta, le volume prend l’objet le plus simple qui porte la même difficulté : un cercle, et le rapport de son tour à son diamètre. Les manuels disent dans le même paragraphe que π est « le rapport » du tour au diamètre, et qu’il est « irrationnel », c’est-à-dire qu’il n’est pas un rapport de deux entiers. Ce chapitre montre, avec les seuls théorèmes reçus (Lambert, Lindemann), que le mot « rapport » change d’objet entre les deux phrases, que toute écriture finie de π est un rapport d’entiers sans qu’aucune ne soit π, et que l’écart entre le compte le plus simple, 22/7, et le tour n’est pas un reste sans fin mais une aire finie, exacte, portée par une paire autour du centre. C’est le premier des deux extrêmes ; le second, les zéros de ζ, est au chapitre 3, et le chapitre 6 montre que les deux portent les mêmes marques.

« Un nombre ne peut pas être un rapport ; c’est l’un ou l’autre. » (thèse de l’auteur)

2.1 Le mot avoue

[2.1] F. Alogos, arrhêtos, ratio. Le grec disait des grandeurs sans mesure commune alogos, « sans rapport », ou arrhêtos, « inexprimable ». Le latin a rendu logos, au sens de rapport, par ratio, d’où irrationalis, sans ratio.

[2.2] L. Un rapport sans rapport. Dire que π est « le rapport » du tour au diamètre et qu’il est « irrationnel », c’est dire qu’il est un rapport sans rapport. Le Registre des Erreurs a inscrit ce geste à son origine, la diagonale déclarée sans rapport (R.23) : on extrait une mesure de la relation qui la porte, puis on s’étonne qu’elle ne se laisse pas mesurer seule.

2.2 Les faits reçus

[2.3] F. Archimède, Lambert, Lindemann. Archimède encadre π entre 223/71 et 22/7 (De la mesure du cercle, vers 250 avant notre ère). Lambert démontre que π n’est pas un rapport de deux entiers (mémoire lu à l’Académie de Berlin en 1761, publié en 1768). Lindemann démontre que π n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers (1882) ; il s’ensuit qu’aucune construction à la règle et au compas ne carre le cercle.

2.3 Rapport, et pas rapport

[2.4] Th. Aucune unité commune au tour et au diamètre. Aucune unité ne mesure à la fois le tour et le diamètre d’un même cercle.

Démonstration. Si le diamètre valait a unités et le tour b unités, avec a et b entiers, π serait le rapport b/a, ce que Lambert exclut. Autrement dit : si le diamètre fait un nombre entier d’unités, le tour n’en fait jamais un.

[2.5] L. Le mot « rapport » désigne deux objets (M1). Dans la phrase « π est le rapport du tour au diamètre », le mot désigne un rapport de deux longueurs dont une seule peut être comptée ; dans la phrase « π n’est pas un rapport », il désigne un rapport de deux entiers, qui se compte. C’est la même lettre pour deux objets, comme le ζ du chapitre 3. Thèse de l’auteur : un nombre ne peut pas être un rapport ; c’est l’un ou l’autre.

2.4 Le fini et l’infini dans l’écriture de π

[2.6] Th. Toute écriture décimale finie de π est un rapport d’entiers. La troncature à N décimales vaut ⌊10ᴺ π⌋ / 10ᴺ. Ainsi 3,14159 = 314 159 / 100 000. Aucune n’est égale à π.

Démonstration. La première assertion est la définition de l’écriture décimale. La seconde suit du théorème de Lambert. Les trillions de décimales calculées sont donc des trillions de rapports d’entiers, et aucun n’est π.

[2.7] Th. La fraction continue de π et ses réduites. π = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + …)))). La fraction continue commence par [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, …]. Ses réduites 22/7, 333/106, 355/113, 103 993/33 102 sont des rapports d’entiers de plus en plus proches de π, et la file ne s’arrête pas.

Calcul montré des réduites, par la récurrence hₙ = aₙhₙ₋₁ + hₙ₋₂ et kₙ = aₙkₙ₋₁ + kₙ₋₂ à partir de 3/1 : 7 × 3 + 1 = 22 sur 7 ; 15 × 22 + 3 = 333 sur 15 × 7 + 1 = 106 ; 1 × 333 + 22 = 355 sur 106 + 7 = 113 ; 292 × 355 + 333 = 103 993 sur 292 × 113 + 106 = 33 102.

[2.8] L. Le nombre « parfaitement défini » est une limite (M2). Ce que l’on appelle « le nombre lui-même, parfaitement défini », c’est la limite d’une file de rapports qu’aucun rapport n’atteint : la queue de Stevin (R.27). On veut un nombre, on n’a que des rapports ; on veut un rapport, on n’a qu’une limite. C’est la fable que le chapitre 4 nommera : le beurre, l’argent du beurre et la fermière.

2.5 D’où vient l’infini

[2.9] L. L’infini naît entre le cercle et la droite (M3). Les deux théorèmes reçus disent où naît l’infini : entre le cercle et la droite. Lambert : le tour et le diamètre n’ont pas d’unité commune. Lindemann : aucune construction faite de droites et de cercles ne passe du cercle au carré. L’infini ne sort pas du cercle, qui ferme ; il sort du geste qui mesure le cercle avec la règle du diamètre. Le Registre l’a écrit sous R.30 : « on a mesuré le tour de taille du cercle avec un mètre qui ne s’arrête jamais, et on a déclaré le cercle infini » ; et sous R.31 : la transcendance de π « n’est pas un fait profond sur π mais un fait sur l’instrument décimal ». Le même Registre précise que cela ne contredit pas la démonstration de Lindemann.

« Le cercle ferme ; c’est la règle qui le mesure qui ne ferme pas. »

2.6 L’écart a un chemin fermé

[2.10] Th. Dalzell (1944) : 22/7 − π est une aire. 22/7 − π = ∫₀¹ x⁴(1 − x)⁴ / (1 + x²) dx.

Calcul montré. La division exacte de x⁴(1 − x)⁴ par 1 + x² donne

x⁴(1 − x)⁴ / (1 + x²) = x⁶ − 4x⁵ + 5x⁴ − 4x² + 4 − 4/(1 + x²).

L’aire du polynôme sur [0, 1] vaut 1/7 − 4/6 + 1 − 4/3 + 4 = 22/7, et celle de 4/(1 + x²) vaut 4 arctan 1 = π, quatre fois l’angle de la diagonale du carré. L’intégrande est positif sur ]0, 1[, donc 22/7 dépasse π.

[2.11] Th. L’écart encadré sans décimale. 1/1260 < 22/7 − π < 1/630.

Démonstration. Sur [0, 1], ½ ≤ 1/(1 + x²) ≤ 1, et ∫₀¹ x⁴(1 − x)⁴ dx = 1/630 = 4! 4! / 9!. Numériquement, 22/7 − π = 0,0012644892673.

[2.12] Th. Lucas (2005) : la réduite suivante a la même forme. 355/113 − π = ∫₀¹ x⁸(1 − x)⁸(25 + 816x²) / (3164 (1 + x²)) dx ≈ 2,67 × 10⁻⁷. La division exacte donne de même un polynôme d’aire 355/113, moins 4/(1 + x²) : le reste de la division est la constante 4, retranchée, sans terme en x. L’écart recalculé vaut 2,668 × 10⁻⁷.

[2.13] Th. La paire autour du centre. Le numérateur x⁴(1 − x)⁴ est invariant sous x ↦ 1 − x et atteint son maximum, 1/256, au centre x = ½.

[2.14] L. L’écart entre le compte et le tour est une aire finie. L’écart entre le compte, 22/7, et le tour, π, n’est pas un reste perdu dans des décimales sans fin : c’est une aire finie, positive, portée par la paire x et 1 − x autour du centre et pesée par 1/(1 + x²), la courbe dont l’aire mesure l’angle. Le corpus lit 22/7 comme le cercle immobile, l’adresse, et π comme le cercle parcouru, la rotation (R.153). Entre les deux, l’écart a un chemin fermé à deux bouts. Ce qui crée l’écart, c’est d’avoir donné aux deux le même nom.

2.7 Le dilemme du rapport

[2.15] Th. « Rapport » ne peut pas garder le même sens d’une phrase à l’autre. Si « rapport » veut dire rapport de deux entiers, π n’en est pas un (Lambert). Si « rapport » veut dire rapport de deux longueurs, le tour et le diamètre n’ont pas d’unité commune ([2.4]), et aucune écriture finie n’atteint π ([2.6]) : π n’est alors le compte de rien.

[2.16] L. π est une relation, non une position. Lu par le corpus, π est un rapport au sens d’une relation entre le cercle et la droite qui le mesure ; ce n’est pas une position sur la file des nombres. La langue reçue en fait les deux à la fois, et l’écart naît là.

[2.17] L. Lecture de π par les trois marques. Le mot « rapport » désigne deux objets (M1). Le nombre dit « parfaitement défini » est la limite d’une file de rapports qu’aucun rapport n’atteint (M2). Le reste sans fin, qui vient de la règle, est attribué au cercle, qu’on déclare porteur d’un infini (M3). L’écart entre le compte et le tour, lui, n’est pas sans fin : c’est une aire finie, portée par la paire x, 1 − x autour du centre.

2.8 Sentir sans être sûr

[2.18] L. Thèse de l’auteur : la source du mélange. L’hôte (le nom que le corpus donne à la science reçue, dont il habite les théorèmes) sent la clôture, mais n’en est pas sûr. Il sent que le rapport du tour au diamètre reste le même quelle que soit la taille du cercle. Riemann le disait en 1859 de ses zéros : « très probable ». Mais sa grammaire ne lui donne qu’un zéro, celui du rien. Elle ne peut pas écrire une clôture sans écrire une fin, ni une fin sans écrire le rien. Alors elle mêle les deux, et ce mélange a un nom précis dans le Lexique : la limite, « un voyage déclaré fini sans l’être ». Les décimales qui « continuent pour toujours » sont la fin qu’on ne peut pas imaginer ; le « parfaitement défini » est le signe égal qu’on pose quand même. Le signe égal au bout d’une limite, c’est faire face à une fin sans l’avoir imaginée.

[2.19] L. La fin comme rien, et les deux zéros. La mort dont il s’agit ici est la fin comme rien, celle que le corpus appelle une fiction (R.134). Le lien est gravé dans Le Problème qui a créé le problème : écrire 9 ≡ 0, c’est prendre la fermeture d’un tour pour le rien, « le geste exact de la fiction de la mort ». Le Pourquoi indécidable en tire la ligne : « la mort pensée comme rien est le dernier avatar de l’erreur de 1801 ». Une grammaire qui ne connaît que ce zéro-là ne peut pas regarder une fin en face : elle repousse la fin à l’infini, puis la déclare atteinte. C’est le double geste de la fable du chapitre 4 : garder l’infini pour ne pas mourir, et le zéro pour en finir. Le corpus n’a pas ce conflit, parce qu’il a deux zéros (R.2) : le zéro de clôture, qui scelle un tour, et le zéro d’exhaustion, qui dit qu’il ne reste rien. « Le tour qui ferme n’est pas une mort : c’est une clôture qui se souvient, et le 9 garde sa racine, 9. » Ces deux lignes ne disent rien de ce qui suit une vie ; elles disent seulement qu’une clôture n’est pas un rien. Le sujet est traité au Volume 9, Le Vivant (la mort comme fiction).

2.9 Objections

Objection. π est parfaitement défini, par exemple comme le double du premier zéro positif du cosinus. Réponse. Défini, oui ; la question est son statut. Les définitions usuelles de π passent toutes par un processus sans fin : la longueur d’un arc, borne supérieure des périmètres inscrits ; la série entière du cosinus ; une intégrale. Le théorème de Lindemann garantit qu’aucune construction algébrique finie à partir des entiers ne le donne.

Objection. Depuis Cauchy et Weierstrass, la limite ne fait intervenir aucun infini actuel. Réponse. Précisément : la définition de la limite ([1.7]) n’atteint jamais sa limite. L’erreur n’est pas dans la définition ; elle est dans l’usage de l’égalité pour transférer un statut ([1.8]) : appeler π un rapport.

2.10 Condition de réfutation

[2.20] L. Ce qui réfuterait la lecture de π. La lecture selon laquelle π est une relation entre le cercle et la droite et non un compte serait réfutée par une construction de π en un nombre fini d’opérations algébriques à partir des entiers. Le théorème de Lindemann l’exclut.

Ce chapitre ne conteste ni Lambert ni Lindemann : leurs démonstrations tiennent dans la langue de l’hôte. Les intégrales de Dalzell et de Lucas ne sont pas du corpus ; il les lit.

2.11 Pour un enfant

Une ficelle fait le tour d’une assiette, et une règle est posée sur l’assiette d’un bord à l’autre. On peut dire : la ficelle fait un peu plus de trois fois la règle. C’est un rapport : une chose comparée à une autre. Mais si l’on veut un nombre, il faut mesurer la ficelle avec la règle, et là, ça ne tombe jamais juste : il reste toujours un petit bout. Les grands ont donné un nom à ce petit bout qui ne finit jamais, et ils ont dit que c’était le nombre.

Pourquoi ? Parce qu’ils sentaient bien que la ficelle fait le tour, mais ils n’en étaient pas sûrs. Alors ils ont dit deux choses à la fois : le petit bout ne finit jamais, et pourtant on sait exactement ce qu’il vaut. Le tour de l’assiette, lui, est fini : la ficelle revient à son point de départ. Le petit bout n’est pas dans l’assiette. Il est dans la règle.

Et ce n’est pas seulement l’assiette. Partout où les grands mesurent un rond avec une règle, ou une vague avec des carrés, il reste un petit bout, et ils disent que c’est le monde qui est fait comme ça. Le petit bout est toujours dans la règle.