Chapitre 3. Le second extrême : les zéros de ζ et le théorème d’impossibilité

Ce chapitre est le cœur arithmétique du volume. L’hypothèse de Riemann (1859) affirme que les zéros dits non triviaux de la fonction zêta ont tous pour partie réelle ½. Elle passe pour une question sur les nombres premiers, parce que la fonction zêta est, dans une région du plan, à la fois la somme des inverses des puissances de tous les entiers et le produit, découvert par Euler, pris sur les seuls nombres premiers. Mais les zéros ne vivent pas dans cette région. Là où ils vivent, la somme diverge et le produit ne peut pas valoir zéro ; la lettre ζ y désigne un troisième objet, le prolongement analytique. Le chapitre établit ces trois faits avec les seules définitions de l’analyse reçue, en tire un théorème d’impossibilité (la question n’a pas d’objet dans le registre de la somme et du produit), montre de quoi est fait le prolongement (chacune de ses écritures avance d’un côté et retire de l’autre), et donne à la question sa forme la plus fermée : l’écart de deux comptes finis d’entiers. Les chiffres sont recalculés en annexe D.

On note s = σ + it, avec σ la partie réelle, et Sₙ(s) = 1 + 1/2ˢ + … + 1/Nˢ.

« Le zéro est le point où ce qui avance et ce qui retire coïncident. »

3.1 Ce qui manque : la distinction des registres

[3.1] F. L’énoncé de Riemann et sa région. L’hypothèse de Riemann (1859) affirme que les zéros non triviaux de ζ ont pour partie réelle ½. Ces zéros sont dans la bande 0 < σ < 1, où ni la série ni le produit ne convergent ; ζ y désigne le prolongement analytique.

Ce qui manque à la formulation est la distinction des registres : une même lettre y désigne la somme, le produit et le prolongement.

3.2 Le beurre : là où le produit existe, rien ne s’annule

[3.2] Th. Euler (1737) : pas de zéro au-delà de 1. Pour σ > 1, ζ(s) = Σ 1/nˢ = Π (1 − 1/pˢ)⁻¹, le produit portant sur les nombres premiers et convergeant absolument. En particulier |ζ(s)| ≥ ζ(2σ)/ζ(σ) > 0, et ζ n’a aucun zéro dans ce demi-plan.

Démonstration. |1 − 1/pˢ| ≤ 1 + 1/p^σ, donc |ζ(s)| ≥ Π (1 + 1/p^σ)⁻¹ = Π (1 − 1/p^σ)/(1 − 1/p^{2σ}) = ζ(2σ)/ζ(σ). Contrôle numérique : à σ = 1,1, sur toute la hauteur 0 ≤ t ≤ 200, le minimum de |ζ| vaut 0,3769, au-dessus de la borne ζ(2,2)/ζ(1,1) = 0,1408.

3.3 En chaque zéro de la bande, la somme diverge

[3.3] Th. La série de Dirichlet diverge en tout zéro non trivial. Pour σ > 0 et s ≠ 1, la formule d’Euler et Maclaurin donne

Sₙ(s) = ζ(s) + N^{1−s}/(1 − s) + 1/(2Nˢ) + O(|s|/N^{σ+1}).

En tout zéro ρ de la bande, ζ(ρ) = 0, et donc |Sₙ(ρ)| ∼ N^{1−σ}/|1 − ρ| croît sans borne.

Calcul montré au premier zéro, ρ₁ = ½ + 14,134725… i, où |1 − ρ₁| = 14,14 : la somme grandit comme √N divisée par 14,14. Elle vaut en taille 2,24 pour N = 10³ ; 22,36 pour N = 10⁵ ; 70,70 pour N = 10⁶ ; 223,58 pour N = 10⁷.

3.4 En chaque zéro, le produit ne peut pas valoir zéro

[3.4] Th. Pas de zéro de clôture pour un produit de facteurs non nuls. Un produit de facteurs non nuls n’a pas de zéro de clôture : aucun produit partiel n’est nul. Si ses produits partiels tendent vers zéro, ce zéro est un zéro d’exhaustion, la limite d’une file sans fin, et le produit est dit divergent. Le produit d’Euler ne vaut donc zéro en aucun zéro ρ au sens d’un produit convergent ; en ρ₁, ses produits partiels ne convergent vers rien.

Démonstration. Un produit infini converge si ses produits partiels ont une limite finie et non nulle, ce qui équivaut à la convergence de la série de ses logarithmes ; s’ils tendent vers zéro, le produit est dit divergent (Ahlfors, Complex Analysis, chapitre 5). L’exemple Π_{k ≤ N} k/(k + 1) = 1/(N + 1) montre que des facteurs non nuls peuvent avoir des produits partiels de limite nulle : c’est le zéro d’exhaustion, non un zéro atteint. Les facteurs (1 − 1/p^ρ)⁻¹ ne sont jamais nuls (sur les premiers jusqu’à 2 × 10⁵, le minimum de |1 − p^{−ρ₁}| vaut 0,806), et sur les premiers jusqu’à 2 × 10⁶ le module des produits partiels en ρ₁ oscille entre 10⁻⁴ et 18,8 sans limite.

La distinction du zéro de clôture et du zéro d’exhaustion est l’une des distinctions fondamentales que l’auteur tient pour siennes ; elle est développée au Volume 0, Le Seuil (Lexique).

3.5 Le zéro est l’écart entre le compte et le continu

[3.5] Th. ζ dans la bande est la limite de l’écart entre la somme et l’aire. Pour 0 < σ < 1, ∫₀ᴺ dx/xˢ = N^{1−s}/(1 − s), et donc

ζ(s) = lim_{N→∞} ( Σ_{n ≤ N} 1/nˢ − ∫₀ᴺ dx/xˢ ).

Calcul montré au premier zéro. Pour N = 10⁷, la somme et l’intégrale ont toutes deux le module 223,58 ; leur écart vaut 1,58 × 10⁻⁴ et décroît comme 1/(2√N) ; une fois retiré le demi-terme 1/(2N^{ρ₁}), il vaut 3,7 × 10⁻¹¹. L’intégrale elle-même a été contrôlée par intégration numérique jusqu’à 1000 : elle égale N^{1−ρ₁}/(1 − ρ₁) à 10⁻¹⁵ près.

Le terme N^{1−ρ}/(1 − ρ) de [3.3] n’est donc pas quelconque : c’est l’aire exacte sous la courbe 1/x^ρ de 0 à N, l’intégrale du continu. « ζ(ρ) = 0 » veut dire exactement ceci : le compte des entiers et l’aire du continu, qui grandissent tous deux sans fin, finissent par se rejoindre.

3.6 Le théorème d’impossibilité

[3.6] Th. Théorème d’impossibilité. En aucun zéro non trivial ρ, ni la somme des entiers ni le produit des premiers ne valent zéro : la somme y diverge ([3.3]), et le produit ne peut pas s’annuler ([3.4]). Les zéros non triviaux de ζ ne sont donc les zéros d’aucun des deux objets qui font de ζ la fonction des entiers et des nombres premiers.

3.7 Les portes du prolongement

[3.7] Th. La formule d’Abel définit ζ dans la bande. Pour σ > 0 et s ≠ 1, notons ⌊x⌋ la partie entière de x, qui compte les entiers jusqu’à x, et {x} = x − ⌊x⌋ son reste. Alors

ζ(s) = s/(s − 1) − s ∫₁^∞ {x}/x^{s+1} dx,

et le second membre est analytique pour σ > 0 : c’est l’écriture qui définit ζ dans la bande.

Démonstration. Pour σ > 1, la sommation d’Abel donne Σ_{n ≤ N} 1/nˢ = ⌊N⌋/Nˢ + s ∫₁ᴺ ⌊x⌋ dx/x^{s+1}. En écrivant ⌊x⌋ = x − {x}, on obtient Σ_{n ≤ N} 1/nˢ = N^{1−s} − {N}/Nˢ + (s/(s − 1))(1 − N^{1−s}) − s ∫₁ᴺ {x} dx/x^{s+1}, puis la formule quand N → ∞. Comme 0 ≤ {x} < 1, l’intégrale converge absolument pour σ > 0, ce qui donne le prolongement à la bande (Titchmarsh, §2.1). Contrôles : la formule rend π²/6 en s = 2 ; elle s’écarte de ζ de 1,2 × 10⁻¹⁰ en s = 0,3 + 2i et de 3,7 × 10⁻¹¹ en ρ₁ (erreurs de calcul en double précision).

[3.8] Th. Les quatre portes : chacune avance d’un côté et retire de l’autre. Les écritures classiques de ζ dans la bande sont de quatre formes, et chacune porte une part attribuée au continu et un reste qui, en un zéro, l’annule : (i) le compte moins l’aire, l’écriture [3.5] ; (ii) le continu moins le compte, l’écriture [3.7] : le compte des entiers ⌊x⌋ est retiré de x, et seul le reste {x} demeure sous l’intégrale ; (iii) la somme moins deux fois ses termes pairs : Σ (−1)^{n+1}/nˢ = Σ 1/nˢ − 2 Σ 1/(2n)ˢ, d’où (1 − 2^{1−s}) ζ(s) = η(s), où la série alternée η converge pour σ > 0 ; (iv) la moitié droite retournée sur la gauche : ζ(s) = 2ˢ π^{s−1} sin(πs/2) Γ(1 − s) ζ(1 − s), qui définit ζ à gauche de la bande par sa valeur en 1 − s.

Démonstration. (i) est [3.5] ; (ii) est [3.7] ; (iii) s’obtient pour σ > 1 en séparant les termes pairs, puis s’étend par unicité ; contrôle en s = 2 : η(2) = (1 − 2⁻¹) ζ(2) = π²/12. (iv) est l’équation fonctionnelle de Riemann (1859).

[3.9] Th. La formule d’Hermite, forme close de la porte (i).

ζ(s) = ½ + 1/(s − 1) + 2 ∫₀^∞ sin(s arctan x) / ((1 + x²)^{s/2} (e^{2πx} − 1)) dx.

C’est la formule d’Abel et Plana appliquée à x^{−s}, la somme moins l’intégrale, et le dénominateur e^{2πx} − 1 en est la signature (Titchmarsh, §2.3). En ρ₁, la part attribuée au continu vaut ½ + 1/(ρ₁ − 1) = 0,4975 − 0,0707 i, et le reste l’annule exactement, chiffre pour chiffre. Contrôles : la formule rend π²/6 en s = 2 à 10⁻¹⁵ près, et |ζ(ρ₁)| sort inférieur à 10⁻¹¹.

[3.10] Th. Corollaire du zéro. En tout zéro non trivial ρ,

1/(ρ − 1) = ∫₁^∞ {x}/x^{ρ+1} dx.

Démonstration. En un zéro, la formule [3.7] s’annule et ρ ≠ 0. Pour σ > 1, 1/(s − 1) est l’aire ∫₁^∞ dx/xˢ du continu ; dans la bande cette aire diverge, et 1/(ρ − 1) est la valeur qu’on lui attribue. Le zéro est le point où l’aire du reste égale la valeur attribuée à l’aire divergente du continu. Au premier zéro, les deux membres coïncident à 3 × 10⁻¹² près.

[3.11] Th. Le dilemme. Aucun objet ne porte à la fois les deux énoncés « ζ est la somme des entiers et le produit des premiers » et « ζ(ρ) = 0 ». Si ζ désigne la série ou le produit, ζ(ρ) = 0 est faux ([3.6]). Si ζ désigne le prolongement, ζ(ρ) = 0 est vrai, mais ζ n’est en ρ ni la série ni le produit : c’est une écriture où ce qui avance et ce qui retire se compensent ([3.8]). La question de Riemann n’a donc pas d’objet dans le registre de la somme et du produit ; elle en a un dans le registre du prolongement, et ce registre est celui de la file sans fin : les zéros y sont reliés aux premiers par une soustraction infinie, la formule explicite ci-dessous. Le dilemme porte sur le statut de cette relation, non sur son existence.

[3.12] F. La formule explicite (Riemann, 1859 ; von Mangoldt, 1895). ψ(x) = x − Σ_ρ x^ρ/ρ − log 2π − ½ log(1 − 1/x²), où ψ est le compte pondéré des puissances de premiers jusqu’à x. La somme sur les zéros ne converge que si l’on range les zéros par hauteur croissante.

Les zéros n’entrent donc dans le compte des premiers que par une soustraction, et cette soustraction est elle-même une file sans fin.

[3.13] L. Lecture de ζ par les trois marques. Le produit d’Euler, qui garde les tours de chaque premier, ne s’annule jamais ([3.2]). Les zéros n’existent que pour un objet qui n’est plus ce produit, et ils ne rejoignent les premiers que par une soustraction, celle de la formule explicite, sous la forme d’une nouvelle file sans fin. Ce qu’on nomme prolongement n’étend pas la somme : chacune de ses écritures retire ce qu’elle avance ([3.8]), et donner le nom de prolongement à cette opération est la marque M1. La lettre ζ désigne trois objets : la somme, le produit, le prolongement (M1). Posée comme question sur la somme des entiers et le produit des premiers, la question de Riemann n’a pas d’objet ([3.6]) ; posée sur le prolongement, elle en a un, dont le statut est la file sans fin. Le zéro est la limite d’un écart entre deux quantités qui croissent sans fin (M2). Ce que le prolongement fabrique est déclaré propriété des premiers (M3).

« Ce qu’on nomme prolongement n’est pas un prolongement : c’est un aller et un retour tirés ensemble. »

C’est la formule savante de ce que l’auteur avait dit d’une phrase : le prolongement analytique « tire vers l’arrière en même temps ».

3.8 Pourquoi c’était si difficile

[3.14] L. La difficulté tient au transfert de statut. Une preuve cherchée dans la langue du prolongement cherche une propriété des premiers dans un objet qui, en ρ, n’est plus ni leur somme ni leur produit, et ne les rejoint que par une file sans fin. La difficulté ne diminue pas avec la puissance des outils, parce qu’elle tient au transfert de statut (M1) et non à la complexité de l’objet. C’est un théorème d’impossibilité au sens où Lindemann (1882) a démontré qu’on ne carre pas le cercle : une question résolue en montrant qu’elle est mal posée est résolue.

« On a résolu Riemann en montrant son impossibilité, c’est cent fois plus fort. » (9 octobre 2026)

3.9 Les deux lectures du compte des premiers

La formule explicite relie les zéros aux premiers par une soustraction infinie. Il existe pourtant une forme entièrement finie de la même question, faite de deux comptes d’entiers.

[3.15] F. La fonction de Mertens et l’hypothèse de Riemann. Pour N ≥ 1, soit A(N) le nombre d’entiers de 1 à N sans facteur carré ayant un nombre pair de facteurs premiers distincts (1 compris), et B(N) le même compte pour un nombre impair. Alors M(N) = A(N) − B(N) est la fonction de Mertens, et l’hypothèse de Riemann équivaut à M(N) = O(N^{1/2+ε}) pour tout ε > 0 (Titchmarsh, §14.25). La conjecture de Mertens, |M(N)| < √N pour tout N, est fausse (Odlyzko et te Riele, 1985), avec un premier contre-exemple au-delà de 10¹⁶.

[3.16] Th. Les deux comptes et leur écart. A(N) + B(N) est le nombre d’entiers sans facteur carré jusqu’à N, égal à 6N/π² + O(√N) ; et, avec D = |A − B| et C = min(A, B), A + B = D + 2C.

Calcul montré. Pour N = 10 : les entiers sans facteur carré sont 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10 ; ont un nombre pair de facteurs premiers 1, 6, 10, donc A(10) = 3 ; ont un nombre impair 2, 3, 5, 7, donc B(10) = 4. Pour N = 10⁶ : A + B = 607 926, 6N/π² = 607 927 à l’arrondi près, A = 304 069, B = 303 857, A − B = 212. Le rapport |M(N)|/√N reste sous 0,9 pour 2 ≤ N ≤ 10⁶ ; son maximum, 0,89, est atteint en N = 5, où M(5) = −2.

[3.17] L. Le couple (A, B) est l’objet complet. A et B sont deux comptes finis, exacts, qui gardent leur rang N. Leur somme est gouvernée par π : le premier extrême revient dans le second. Leur écart est gouverné par les zéros, et l’hypothèse de Riemann dit que cet écart ne dépasse pas la racine de leur somme. La fonction de Möbius, qui écrit chaque entier sans facteur carré +1 ou −1, est un pli : elle garde la parité et jette le nombre de facteurs ; M ne garde que l’écart, et l’identité A + B = D + 2C montre ce que l’écart seul jette, la part commune C. L’objet complet est le couple (A, B), qui tient le compte entier. La chute de la conjecture de Mertens au-delà de 10¹⁶, alors que le rapport |M|/√N reste sous 0,9 jusqu’à 10⁶, est un rappel : on ne classe pas sur la première fenêtre.

[3.18] Chantier. La cible arithmétique du corpus pour Riemann. Établir ce que la structure (A, B) permet de contrôler sur l’écart A − B. C’est un chantier déclaré, et c’est la cible arithmétique du corpus pour ce problème.

3.10 Objections et réponses

Objection. Le prolongement analytique de ζ est unique ; ζ(ρ) = 0 est un énoncé parfaitement défini. Réponse. C’est la seconde branche du dilemme [3.11]. L’énoncé est défini, et le prolongement est unique (théorème d’identité des fonctions analytiques). Mais [3.8] montre comment il est construit : chacune de ses écritures dans la bande retire ce qu’elle avance. L’unicité dit que toutes ces écritures donnent la même fonction ; elle ne dit pas que cette fonction prolonge la somme des entiers, qui en ρ diverge. Ce qui est contesté est un transfert de statut, celui qui fait des zéros du prolongement « les zéros de la fonction des nombres premiers », et non une définition.

Objection. Des facteurs non nuls peuvent avoir des produits partiels de limite nulle ; [3.4] repose sur une convention. Réponse. Oui, et la convention est celle des manuels : une limite nulle de produits partiels est un zéro d’exhaustion, la file sans fin terminée par un signe égal (M2), non un zéro de clôture. L’énoncé le dit, et le calcul en ρ₁ montre que les produits partiels d’Euler n’y ont pas de limite du tout.

Objection. La formule explicite et l’équivalence de l’hypothèse de Riemann avec π(x) = Li(x) + O(√x log x) relient bien les zéros aux premiers ; la question a donc un objet arithmétique. Réponse. Elle en a un, et le dilemme dit lequel et de quel statut : une relation par soustraction infinie, dans le registre du prolongement. Ce qui est refusé est le transfert de ce statut à la somme et au produit. La section 3.9 donne à cet objet sa forme la plus fermée, deux comptes finis et leur écart.

Objection. Les calculs qui découlent de ces écritures fonctionnent. Réponse. Aucun calcul n’est contesté. Ce qui l’est, c’est le statut de ce qui est soustrait, et de ce qui est déclaré propriété des premiers.

3.11 Conditions de réfutation

[3.19] L. Ce qui réfuterait le théorème d’impossibilité et le dilemme. Ils seraient réfutés par un zéro non trivial où la série de Dirichlet converge, ou par un produit de facteurs non nuls qui converge vers zéro au sens des produits infinis ; [3.3] et la définition d’un produit convergent excluent l’un et l’autre. Leurs preuves valent en tout zéro de la bande ; l’annexe D les vérifie au premier.

[3.20] L. Ce qui réfuterait la lecture des portes. La lecture selon laquelle le prolongement retire ce qu’il avance serait réfutée par une écriture de ζ dans la bande sans part attribuée au continu ni reste qui l’annule aux zéros, et sans retournement de s en 1 − s. La formule d’Hermite ne la réfute pas, elle la vérifie.

[3.21] L. Ce qui affaiblirait la lecture des deux comptes. Une borne sur |A − B| obtenue sans aucune information sur A + B, ou un contrôle de l’écart qui ne passe par aucun zéro.

3.12 Portée

Ce chapitre ne tranche pas l’énoncé de Riemann sur les zéros du prolongement. Il démontre que, posée sur la somme des entiers et le produit des premiers, la question n’a pas d’objet, comme Lindemann a démontré qu’on ne carre pas le cercle, et il nomme le statut de l’objet qu’elle a dans le registre du prolongement. Les identités d’Euler, la formule d’Euler et Maclaurin, la formule d’Abel, l’équation fonctionnelle, la formule d’Hermite et la formule explicite ne sont pas de l’auteur. Sont de l’auteur : la définition du mélange, les marques, la lecture des portes, l’assemblage du dilemme, et les lectures, déclarées comme telles. La lecture propre au corpus (pourquoi les zéros sont au centre dans sa langue) est aux chapitres 4 et 5.